Зависимость давления от высоты: барометрическая формула

§ 8. Барометрическая формула

Зависимость давления от высоты: барометрическая формула

Макеты страниц

Хаотические молекулярные движения приводят к тому, что частицы газа равномерно распределяются по объему сосуда, так что в каждой единице объема содержится в среднем одинаковое число частиц. В равновесном состоянии давление и температура газа также

одинаковы во всем объеме. Но так обстоит дело только в том случае, когда на молекулы не действуют внешние силы. При наличии же таких сил молекулярные движения приводят к своеобразному поведению газов.

Рассмотрим, например, газ (воздух), находящийся под действием силы тяжести. Если бы отсутствовало тепловое движение молекул, то все они под действием силы тяжести «упали» бы на Землю, и весь воздух собрался бы тончайшим слоем у поверхности Земли. Если бы отсутствовала сила тяжести, но существовали бы молекулярные движения, молекулы разлетелись бы по всему мировому пространству.

Атмосфера, воздушная оболочка Земли, обязана своим существованием в ее теперешнем виде наличию одновременно и теплового движения молекул, и силы притяжения к Земле. При этом в атмосфере устанавливается вполне определенное распределение молекул по высоте.

Соответственно этому распределению молекул устанавливается и определенный закон изменения давления газа с высотой, который нетрудно найти.

Рис. 8.

Рассмотрим вертикальный столб воздуха (рис. 8).

Пусть у поверхности Земли, где давление равно а на высоте равно При изменении высоты на давление изменяется на Давление воздуха на некоторой высоте равно, как известно, весу вертикального столба воздуха, находящегося на этой высоте над площадью, равной единице. Поэтому равно разности весов столбов воздуха над площадью, равной единице, высотах т. е. равно весу столба воздуха высотой с площадью основания в одну единицу:

где плотность воздуха (масса единицы объема) и ускорение силы тяжести. Плотность газа равна, очевидно, произведению массы молекулы на их число в единице объема:

Из кинетической теории известно [формула (4.1)], что Следовательно, и

Это уравнение можно (для разделения переменных) переписать в виде:

Если считать, что температура на всех высотах одна и та же (что, вообще говоря, неверно), то, интегрируя это уравнение, получим:

где С — постоянная интегрирования. Отсюда

Постоянная С определяется из условия, что при давление Подставив в уравнение (8.16) эти значения получим:

Следовательно, интересующая нас зависимость давления воздуха от высоты над поверхностью Земли имеет вид:

или, учитывая, что молекулярная масса, т. е. масса моля, число Авогадро), получаем:

Уравнение (8.2), устанавливающее закон убывания давления с высотой, называется барометрической формулой. Из этого уравнения видно, что давление газа убывает с высотой по экспоненциальному закону. Этим законом пользуются для определения высоты над Землей путем измерения давления на данной высоте и на уровне моря (конечно, последнее достаточно измерить один раз).

Приборы, служащие для измерения высоты горных вершин, полета самолета и т. д., представляют собой специальные барометры, шкала которых проградуирована непосредственно в метрах.

Для этих целей, однако, необходимо в уравнении (8.

2) внести поправку на температуру, которая, как известно, понижается с ростом высоты, тогда как барометрическая формула получена нами в предположении постоянства температуры на всех высотах.

Пользуясь барометрической формулой (8.2), также можно определить постоянную Больцмана но точность в этом случае невелика именно из-за температурной поправки.

Так как давление газа, как мы видели раньше, пропорционально числу молекул в единице объема то формула (8.2) выражает также закон убывания плотности молекул с высотой:

где число молекул в единице объема в точках, междукоторыми разность высот равна х. Эта формула, так же как и формула (8.2а), показывает, что атмосфера Земли должна простираться до бесконечности.

При выводе барометрической формулы (8.2) или (8.3) мы предполагали, что ускорение силы тяжести постоянно, т. е. не зависит от высоты х. На этом основании мы при интегрировании уравнения (8.1) вынесли за знак интеграла.

Такое упрощение приемлемо для сравнительно небольших значений х (порядка десятков километров). При больших высотах необходимо принять во внимание, что ускорение силы тяжести убывает по мере удаления от поверхности Земли.

Действительно, из закона всемирного тяготенияследует, что на расстоянии от центра Земли ускорение силы тяжести

где у — постоянная гравитации (в системе СИ она имеет значение а в масса Земли и радиус Земли. Поэтому уравнение (8.1) должно быть переписано в виде;

После интегрирования получаем:

или

Постоянная интегрирования С определяется из условия, что при давление Подставив эти значения в (8.4), получаем:

и окончательно зависимость давления от высоты имеет вид:

Из этой формулы следует парадоксальный, на первый взгляд, результат, что даже на бесконечном удалении от Земли, т. е. при давление не равно нулю:

Это значит, что атмосфера Земли (как и других планет) должна была бы простираться до бесконечности и нигде плотность газа не должна быть равна нулю. Так как это физически невозможно (число молекул конечное, а объем Вселенной бесконечен), то необходимо предположить, что атмосфера Земли не находится в равновесном состоянии.

Неравновесность состояния заключается в том, что атмосферный газ непрерывно рассеивается в мировое пространство. Это, однако, не привело (и в течение многих миллиардов лет не приведет) к потере Землей своей атмосферы, гак как лишь ничтожная доля частиц воздуха покидает атмосферную оболочку Земли.

Но такое состояние могло привести, например, к потере атмосферы Луной, если она ею когда-либо в прошлом обладала (об этом более подробно см. ниже).

Опыт Перрена. Формула (8.3) была использована Перреном для опытной проверки барометрической формулы и для определения постоянной Больцмана (или, что то же, числа Авогадро).

Перрен использовал тот факт, что, как показали его опыты с броуновским движением, небольшие взвешенные частицы можно трактовать как невзаимодействующие молекулы очень больших размеров. Поэтому можно ожидать, что частицы типа броуновских, взвешенные в жидкости и подверженные действию силы тяжести, будут распределяться по высоте так же, как молекулы газа, т. е. по закону (8.3).

Рис. 9.

Перрен приготовил эмульсии (эмульсия состоит из двух несмешивающихся жидкостей, из которых одна образует мелкие капельки, взвешенные в другой) содержавшие частицы почти одинакового размера и приблизительно шарообразной формы. С помощью микроскопа с очень малой глубиной резкости, установленного вертикально (рис.

9), наблюдалось распределение взвешенных частиц по высоте. Для этого микроскоп фокусировался на слои эмульсии на разных высотах (глубинах). В поле зрения микроскопа оказывались частицы в слое глубиной не более 0,001 мм и совсем не были видны частицы, лежащие выше и ниже.

Число частиц в поле зрения было невелико,

так что их можно было сосчитать. Число это, очевидно, пропорционально числу частиц в единице объема. Измерения цроизводились многократно и определялось среднее из многих измерений.

Общее число сосчитанных частиц в некоторых сериях опытов достигало многих тысяч. Эти измерения показали, что концентрация частиц действительно убывает с высотой по экспоненциальному закону, выраженному формулой (8.

3), в которой, однако, учтена потеря веса частицы по закону Архимеда.

Если масса частицы равна то вес ее с учетом подъемной силы Архимеда равен:

где плотность вещества частицы, плотность жидкости, в которой она взвешена. Формула (8.3) примет поэтому вид:

Из (8.6) следует, что если сосчитать число частиц в поле зрения микроскопа в двух слоях эмульсии то из отношения

нетрудно определить постоянную Больцмана если измерить массу частиц их плотность плотность жидкости и температуру Последние две величины измеряются общеизвестными методами. Трудно было измерить массу и плотность частиц эмульсии вследствие их малых (микроскопических!) размеров.

Плотность вещества частиц Перрен определил, измерив массу и объем эмульсии. Для этого сначала взвешиванием определялась масса воды заполняющей определенный сосуд (пикнометр). Отсюда определялся объем пикнометра (здесь плотность воды).

Затем определялась масса эмульсии (в воде), заполняющей тот же пикнометр. После этого пикнометр с эмульсией помещался в печь, где жидкость полностью испарялась; пикнометр снова взвешивался, в результате чего определялась масса частиц в эмульсии.

Из этих измерений определяется объем воды в эмульсии

объем частиц эмульсии

и, следовательно, плотность вещества частиц:

Радиус частиц эмульсии, которые были почти правильными шариками, Перрен определял, измеряя скорость у их падения в эмульсии, заполняющей капиллярную трубку. На шарик радиусом а, падающий со скоростью в жидкости, вязкость которой действует сила трения, направленная вертикально вверх, равная

Кроме того, на падающий шарик действует направленная вверх архимедова сила, равная

где плотность жидкости, и, конечно, сила тяжести

плотность вещества шарика. Результирующая двух последних сил

вызывает движение шарика с ускорением направленным вниз Но по мере увеличения скорости шарика растет сила трения которая тормозит его. В результате установится такая, постоянная скорость движения шарика, при которой

Именно эту скорость измерял Перрен. Из формулы (8.8) определяются радиус частицы и соответственно ее масса:

Таким образом, все величины, входящие в (8.7), поддаются измерению.

После логарифмирования (8.7) формула для вычисления постоянной Больцмана имеет вид:

Полученное из опытов Перрена значение несколько меньше принятого теперь значения. Позже, другими исследователями, этим же методом было получено более точное значение.

Источник: https://scask.ru/j_book_mph.php?id=10

Зависимость давления воздуха от высоты

Зависимость давления от высоты: барометрическая формула

Многие люди, особенно альпинисты, пастухи на горных пастбищах, знают, что с увеличением высоты уменьшается давление воздуха. Становится трудно дышать, невозможно сварить горячую пищу, чай. Естественно, появляется вопрос: почему давление воздуха уменьшается с высотой? Рассмотрим решение этого вопроса.

Что такое воздух? Воздух – это бесцветная смесь различных газов, составляющих атмосферу нашей планеты. Основными газами, из которых состоит воздух, являются азот (78 %), кислород (21 %), аргон (0,9 %), углекислый газ (0,03 %) и другие.

С точки зрения физики поведение воздуха при существующих условиях на Земле подчиняется законам идеального газа.

Согласно этой модели молекулы и атомы газа не взаимодействуют друг с другом, расстояния между ними огромные по сравнению с их размерами, а скорости движения при комнатной температуре по расчетам по молекулярно-кинетической теории газов составляют порядка 460 м/с.

Что такое “давление” с физической точки зрения.

Под давлением воздуха понимают силу, с которой воздушный столб давит на поверхность. В физике она измеряется в паскалях (Па). 1 Па означает, что сила в 1 ньютон (Н) перпендикулярно приложена к поверхности площадью 1 м2. Поэтому давление 1 Па – это очень маленькое давление.

На уровне моря давление воздуха составляет примерно 0,1 МПа (точнее -101 325 Па), что соответствует давлению 1 атмосфера. Это значит, что на площадку 1 см2 воздух давит с силой 1 кгс, а на площадку 1 м2 – 100 х 100 =10'000 кгс = 10 тонно-силы (или 100 кН)! Это очень много, но человек ее не ощущает, так как внутри него каждая клетка создает аналогичное противодавление.

Последний факт говорит о том, что давление атмосферы с разных сторон на человека взаимно компенсируется.

Кстати, если внезапно возле человека убрать давление воздуха, то он взорвется! По настоящему. По этой причине водолазы с большой глубины должны подниматься достаточно медленно, чтобы жидки составляющие организма (например, кровь) не вскипели.

Зависимость давления от высоты

Атмосферу около нашей планеты существует за счет земной гравитации. Эти же силы являются виновниками падения давления воздуха с увеличением высоты. Но не только земное притяжение приводит к уменьшению давления. Снижение температуры тоже вносит свой вклад.

Основная причина, по которой изменяется давление с высотой, заключается в том, что на каждый последующий слой воздуха давит меньшее количество воздуха. На поверхности Земли давлению в 1 атм. Соответствует тот факт, что весь столб воздуха площадью в 1 см2 от поверхности Земли и до далекого космоса весит 1 кг.

Для расчета изменения давления воздуха с высотой можно использовать гидростатическую формулу зависимости давления от глубины (высоты). Изменение этого давления можно определить по формуле

dP = -ρ * g * dh, (1)

где: dP – величина изменения давления при изменении высоты на dh, ρ – плотность воздуха,

g – ускорение свободного падения.

Из уравнения состояния идеального газа можно получить, что

ρ = P * m / (k * T), (2)

где m – масса 1 молекулы, T – его температура,

k – постоянная Больцмана.

Объединяя две приведенные выше формулы и решая полученное уравнение относительно давления и высоты, можно получить следующую формулу:

Ph = P₀ * e[-m*g*h/(k*T)], (3)

где Ph и P₀ – давление на высоте h и на высоте уровня моря, соответственно, P₀ = 101 325 Па, g = 9,8 м/с² , k = 1,38*10-23 Дж/К, m = 4,817*10-26 кг (с учетом молярной массы воздуха 29 г/моль),

– знак возведения в степень.

Подставляя известные значения в (3):

m * g / k =4,817*10-26 кг*9,8 м/с² / 1,38*10-23 Дж/К = 34,2 *10-3 = 0,0342,

ее можно переписать в окончательном виде:

Ph = P₀ *e-m*g*h/(k*T) → 101 325 * e-0,0342*h/T (4)

Полученное выражение может использоваться для расчетов зависимости атмосферного давления от высоты и температуры (постоянной на любой высоте) называется барометрической формулой. Для примера рассчитаем давление воздуха на вершине горы Джомолунгма (или – Эверест) в Китае на Гималайских горах на высоте 8848 м.

Для решения задачи воспользуемся формулой (4) зависимости давления от высоты. Для расчетов примем следующие значения неизвестных параметров:

T = 293 K (20 ℃),
h = 8848 м,

Подставляя эти числа в (4), получаем:

Ph = 101 325 *e-0,0342*8848/293 = 101 325 *e-1,0327 = 36076 Па, (5)

Это значение почти в три раза меньше, чем на уровне поверхности моря.

Ссылка на мою статью Как написать формулы в статье на Дзен?

Мои странички на Дзен: https://zen.yandex.ru/id/5e036c95fc69ab00aecfe6e9

Если хотите узнать, что обозначает слово или словосочетание, в ОПЕРЕ выделите это слово(сочетание), нажмите правую клавишу мыши и выберите “Искать в …”, далее – “Yandex”. Если это текстовая ссылка – выделите ее, нажмите правую клавишу мыши, выберите “перейти …”. Все! О-ля-ля!

Если вам понравилась статья, то поставьте “лайк” и подпишитесь на канал! Если не понравилась – все равно комментируйте и подписывайтесь. Этим вы поможете каналу. И делитесь ссылками в ваших соцсетях!

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5e036c95fc69ab00aecfe6e9/zavisimost-davleniia-vozduha-ot-vysoty-5f355a91d108ec5c8196c9bf

3.4. Распределение молекул по координатам

Зависимость давления от высоты: барометрическая формула

В этом разделе мы перейдем теперь к анализу распределения молекул газа по координатам. Очевидно, что если на молекулы газа не действуют внешние силы, то, в состоянии термодинамического равновесия, газ равномерно распределен по заданному объему.

В этом случае давление и плотность газа одинаковы во всех точках.

Если же газ находится в силовом поле (как, например, атмосферный воздух, который испытывает притяжение Земли), то давление и плотность газа уже не будут всюду одинаковыми, а будут меняться от точки к точке.

3.4. Распределение молекул газа по высоте сосуда, находящегося в однородном поле тяжести.

Барометрическая формула. Найдем закон, по которому изменяется давление атмосферы (или плотность воздуха) по мере удаления от поверхности Земли. Выделим вертикальный столб воздуха с площадью горизонтального сечения S.

Предположим, что

  • этот столб находится в тепловом равновесии, то есть температура везде одинакова (в реальной атмосфере это не так, но для простоты анализа будем предполагать Т = const);

  • газ идеальный, то есть для него справедливо уравнение Клапейрона — Менделеева

  • можно пренебречь изменением ускорения свободного падения g с высотой (что справедливо для не очень больших высот).

Атмосферное давление на высоте h обусловлено весом вышележащих слоев газа. Пусть на высоте h давление р, тогда на высоте h + dh давление р + dp (рис. 3.6). При этом, если dh > 0, то давление уменьшается, dp < 0, так как уменьшается вес вышележащих слоев атмосферы.

Рис. 3.6.Вертикальный воздушный цилиндр (к выводу барометрической формулы)

Выделенный слой газа, высотой dh и массой m, находится в равновесии. Следовательно, сумма действующих на него сил равна нулю:

В проекции на вертикальную ось получаем

(3.45)

где r — плотность газа на высоте h. Раскрывая скобки иприводя подобные члены, переходим к уравнению

(3.46)

Воспользуемся уравнением Клапейрона — Менделеева для выделенной массы газа m и выразим плотность через давление:

(3.47)

Подставляя (3.47) в (3.46), окончательно получаем

(3.48)

Это уравнение можно проинтегрировать в случае изотермической атмосферы (Т = const):

(3.49)

3.5. Барометрическая формула: язычок пламени в роли весьма чувствительного индикатора убывания давления с высотой.

Постоянная интегрирования р0 равна давлению на поверхности (h = 0). Полученная зависимость называется барометрической формулой. Она описывает распределение давления газа по высоте в однородном поле тяжести при постоянной температуре. Следует обратить внимание на то, что распределение зависит от рода газа.

Чем меньше m, тем меньше по абсолютной величине показатель степени, и тем медленнее для такого газа уменьшается давление при увеличении высоты. На рис. 3.

7 показаны зависимости давления от высоты при температуре Т = 300 К (27 °С) для трех газов различной молярной массы — водорода Н2 (m1 = 2,016 г/моль), азота N2 (m2 = 28,013 г/моль) и кислорода 02 (m3 = 31,999 г/моль).

Рис. 3.7. Зависимость давления трех разных газов Н2, N2 и O2 от высоты

Пример. Определим, на какой высоте давление кислорода уменьшается в два раза (при Т = 300 К).

Применяем барометрическую формулу.

Тогда

откуда

Используя уравнение идеального газа в форме

(3.50)

из барометрической формулы легко получить закон изменения с высотой числа n молекул в единице объема:

(3.51)

Из (3.51) следует, что состав воздуха с ростом высоты будет меняться количественно: возрастет концентрация газов с малой молярной массой, например водорода и гелия.

У поверхности воздух представляет собой смесь газов: N2 — 78,08 %, O2 — 20,95 %, СO2 — 0,03 %, инертные газы — 0,94 %. Посмотрим, как изменится отношение концентраций кислорода и азота в изотермической атмосфере (Т = 300 К) на высоте 10 км.

Отношение концентраций кислорода и азота уменьшится от 0,27 до 0,23. Наш расчет справедлив лишь для изотермической атмосферы и сравнительно небольших высот, для которых ускорение свободного падения изменяется незначительно: g = const, T = const.

Распределение Больцмана. Число молекул в единице объема зависит от высоты h и температуры Т, причем обе переменные входят в показатель экспоненты. Уравнение (3.51) можно записать в виде

(3.53)

где kB — масса одной молекулы газа. При этом выражение m0gh, стоящее в числителе, есть не что иное, как потенциальная энергия одной молекулы в поле тяжести Земли. Поэтому можно говорить, что мы имеем распределение молекул по значениям потенциальной энергии.

При этом чем больше потенциальная энергия, тем меньше таких молекул. В знаменателе показателя степени стоит kBТ — величина, пропорциональная средней энергии теплового движения молекулы.

Чем выше температура, то есть чем больше энергия теплового движения молекул, тем экспоненциальный множитель, пропорциональный концентрации молекул, с ростом высоты убывает медленнее. На рис. 3.

8 показаны кривые относительной концентрации молекул кислорода O2 на разных высотах при двух различных температурах Т1 = 300 К и Т2 = 1 300 К (последний случай, конечно, нереален и используется лишь как иллюстрация).

Рис. 3.8. Зависимость относительной концентрации молекул кислорода от высоты при разных температурах T1 = 300 K и T2 = 1 300 K

Видно, что число частиц в единице объема при большей температуре медленнее убывает с высотой. При уменьшении температуры большая часть частиц располагается на меньшей высоте. А при Т = 0 все частицы расположились бы на поверхности Земли. Этот факт имеет простое физическое объяснение. Каждое конкретное распределение молекул по высоте устанавливается в результате действия двух тенденций:

  • притяжение молекул к Земле, характеризуемое потенциальной энергией m0gh, стремится расположить их на поверхности Земли;

  • тепловое движение, характеризуемое энергией kBТ, стремится разбросать молекулы по всем высотам равномерно.

Обозначив Ер = m0gh, получим

(3.53)

то есть концентрация молекул больше там, где меньше их потенциальная энергия. Частицы будут с большей вероятностью располагаться в тех точках пространства, где потенциальная энергия меньше.

Больцман доказал, что такое распределение осуществляется в поле любых сил, а не только в гравитационном поле. Поэтому распределение (3.53), где n — концентрация частиц с потенциальной энергией Ер называется распределением Больцмана.

Источник: https://online.mephi.ru/courses/physics/molecular_physics/data/course/3/3.4.1.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.